Question

已知等差数列{a_n}公差为2，首项为1，则

2011

i=1

ai•

C

i 2011

=

 

．

Answer 1

分析：由题意可得，a_n=1+2（n-1）=2n-1，从而有

2011

i=1

ai•

C

i 2011

=2（C₂₀₁₁¹+2C₂₀₁₁²+…nC₂₀₁₁²⁰¹¹）-（C₂₀₁₁¹+C₂₀₁₁²+…+C₂₀₁₁²⁰¹¹），利用组合数性质可求

解答：解：∵等差数列{a_n}公差为2，首项为1
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴

2011

i=1

ai•

C

i 2011

=2（C₂₀₁₁¹+2C₂₀₁₁²+…nC₂₀₁₁²⁰¹¹）-（C₂₀₁₁¹+C₂₀₁₁²+…+C₂₀₁₁²⁰¹¹）
=2n（C₂₀₁₀⁰+C₂₀₁₀¹+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰）-（C₂₀₁₁⁰+C₂₀₁₁¹+C₂₀₁₁²+…+C₂₀₁₁²⁰¹¹）+C₂₀₁₁⁰
=2×2011×2²⁰¹⁰-2²⁰¹¹+1
=2010•2²⁰¹¹+1
故答案为：2010•2²⁰¹¹+1

点评：本题目主要考查了数列求和公式的应用，解题的关键是应用组合数的性质：①C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ②kC_n^k=nC_n-1^k-1进行求和