Question

【题目】已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有 给出下列四个命题：

①f（﹣2）=0；

②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[4，6]上为减函数；

④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．

其中所有正确命题的序号为_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】对于①，对于任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，

令x=﹣2，则f（﹣2+4）=f（﹣2）+f （2）=f（2），

∴f（﹣2）=0，①正确；

对于②，由①知f（x+4）=f （x），则f（x）的周期为4，

又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x+4）=f（﹣x），

而f（x）的周期为4，则f（x+4）=f（﹣4+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣4），

∴f（﹣4﹣x）=f（﹣4+x），

∴直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，②正确；

对于③，当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有，

∴函数y=f（x）在[0，2]上为减函数，

而f（x）的周期为4，

∴函数y=f（x）在[4，6]上为减函数，③正确；

对于④，∵f（2）=0，f（x）的周期为4，

函数y=f（x）在[0，2]上为增函数，

在[﹣2，0]上为减函数，

作出函数在（﹣8，6]上的图象如图所示；

∴函数y=f（x）在（﹣8，6]上有4个零点，④正确．

综上，以上正确的命题是①②③④．

故答案为．①②③④．