Question

已知m，n为不相等的正常数，x，y∈（0，+∞），
（1）试判断

m2

x

+

n2

y

与

(m+n)2

x+y

的大小关系，并证明你的结论
（2）利用（1）的结论，求函数f（x）=

5

x

+

9

1-5x

（x∈（0，

1

5

）
的最小值，并指出取得最小值时x的值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,不等式比较大小,基本不等式

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用不等式（

m2

x

+

n2

y

）（x+y）=m²+n²+

m2y

x

+

n2x

y

≥m²+n²2mn=（m+n）²，得证即

m2

x

+

n2

y

≥

(m+n)2

x+y

（

m

x

=

y

n

等号成立）
（Ⅱ）凑出条件：f（x）=

5

x

+

9

1-5x

=

25

5x

+

9

1-5x

≥

(5+3)2

1

=64，利用上题解论即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：因为a，b是不相等的正常数，实数x，y∈（0，+∞），
所以应用均值不等式，得：（

m2

x

+

n2

y

）（x+y）=m²+n²+

m2y

x

+

n2x

y

≥m²+n²2mn=（m+n）²，
即

m2

x

+

n2

y

≥

(m+n)2

x+y

（

m

x

=

y

n

等号成立）
（Ⅱ）∵函数f（x）=

5

x

+

9

1-5x

（x∈（0，

1

5

）
∴f（x）=

5

x

+

9

1-5x

=

25

5x

+

9

1-5x

≥

(5+3)2

1

=64，x∈（0，

1

5

）
但且仅当

5

5x

=

3

1-5x

，x=

1

8

，等号成立，
∴f（x）的最小值为64，此时x=

1

8

点评：本题考查了函数的性质，运用基本不等式求解问题，难度较大，很有创新性，关键是确定条件，运用结论．