Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）一个周期的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若f（α）+f（α-

π

3

）=

24

25

，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数的图象，求出A、T，求出ω，函数x=-

π

6

时，y=0，结合-

π

2

＜φ＜

π

2

求出φ，然后求函数f（x）的表达式；
（2）利用f（α）+f（α-

π

3

）=

24

25

，化简出（sinα+cosα）²，2sinαcosα=

24

25

＞0且α为△ABC的一个内角，确定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．

解答：解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．
函数f（x）的周期为T=4×（

π

12

+

π

6

）=π．
而T=

2π

ω

，则ω=2．又x=-

π

6

时，y=0，
∴sin[2×（-

π

6

）+φ]=0．
而-

π

2

＜φ＜

π

2

，则φ=

π

3

，
∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+

π

3

）．

（2）由f（α）+f（α-

π

3

）=

24

25

，得
sin（2α+

π

3

）+sin（2α-

π

3

）=

24

25

，
即2sin2αcos

π

3

=

24

25

，∴2sinαcosα=

24

25

．
∴（sinα+cosα）²=1+

24

25

=

49

25

．
∵2sinαcosα=

24

25

＞0，α为△ABC的内角，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=

7

5

．

点评：本题是基础题，考查函数解析式的求法，根据三角函数式，确定函数的取值范围，是解题的难点，考查学生视图能力，计算能力．