Question

（2012•奉贤区一模）函数f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2(1-x)，x∈[ 1 2 ，1]

，定义f（x）的第k阶阶梯函数fk(x)=f(x-k)-

k

2

，x∈(k，k+1]，其中k∈N^*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P_k（a_k，b_k）．
（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；
（2）求证：所有的点P_k在某条直线L上．

Answer 1

分析：（1）按分段函数分段标准讨论x，然后解不等式f（x）≤x即可；
（2）先求出函数f_k（x）的解析式，然后研究函数f_k（x）的单调性，从而得到f（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点P_k的坐标，然后求出过P_kP_k+1这两点的直线的斜率和过P_k+1P_k+2这两点的直线的斜率，可证得所有的点P_k在某条直线L上．

解答：解：（1）当x∈[0，

1

2

）时，f（x）=x+

1

2

＞x，故不等式f（x）≤x无解；
x∈[

1

2

，1]时，f（x）=2（1-x）≤x，解得x∈[

2

3

，1]
故不等式f（x）≤x的解为[

2

3

，1]------------------（4分）
（2）∵fk(x)=

x+ 1-3k 2    ，x∈(k，k+2] 2(1-k)+ 3k 2 ，x∈[k+ 1 2 ，k+1]

，k∈N^*-------------------（6分）
第一段函数是增函数，第二段是减函数
∴f（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为Pk(k+

1

2

，1-

k

2

)，-------------------（7分）
第k+1阶阶梯函数图象的最高点为Pk+1(k+

3

2

，1-

k+1

2

)
所以过P_kP_k+1这两点的直线的斜率为-

1

2

．------------------（8分）
同理可得过P_k+1P_k+2这两点的直线的斜率也为-

1

2

．
所以f（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．
直线方程为y-1=-

1

2

(x-

1

2

)即2x+4y-5=0-------------（12分）

点评：本题主要考查了分段函数的性质，以及函数的单调性和最值，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．