Question

2．求函数y=$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$的单调区间和值域．

Answer 1

分析 先求出原函数的定义域为[-1，3]，可以看出原函数是由$y=\sqrt{t}$和t=3+2x-x²复合而成的复合函数，而y=$\sqrt{t}$为增函数，从而求函数t=3+2x-x²在[-1，3]上的单调区间便可得出原函数的单调区间．而通过对t=3+2x-x²配方即可得出原函数的值域．

解答 解：解3+2x-x²≥0得，-1≤x≤3；
令3+2x-x²=t，则$y=\sqrt{t}$为增函数；
∴t=3+2x-x²在[-1，3]上的增减区间分别为原函数的增减区间；
∴原函数的单调增区间为[-1，1]，单调减区间为（1，3]；
3+2x-x²=-（x-1）²+4；
∴0≤3+2x-x²≤4；
∴0≤y≤2；
∴原函数的值域为[0，2]．

点评 考查解一元二次不等式，复合函数的定义及其单调性，增函数的定义，以及二次函数单调区间的求法，配方求二次函数值域的方法．