Question

已知两点F₁（0，-2），F₂（0，2），且点P到这两点的距离和等于6．
（1）求以F₁，F₂为焦点，且过点P的椭圆方程；
（2）设点P（0，3），F₁，F₂，P关于直线y=x的对称点分别为P'，

F

′ 1

，F2′，求以

F

′ 1

，F2′为焦点，且过点P′的双曲线方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后椭圆定义，得2a，c，再求出b．最后写出椭圆标准方程．
（2）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由椭圆定义，得2a=|PF₁|+|PF₂|=6，c=2，所以，b²=a²-c²=5．
所以，椭圆的方程为

y2

9

+

x2

5

=1．…（5分）
（2）因为点P，F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为P'（3，0），F1′(-2，0)，F2′(2，0)，
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由双曲线定义，得2a=||P'F'₁|-|P'F'₂||=4，c=

14

，
所以，b²=c²-a²=10．
所以，双曲线的方程为 

x2

4

-

y2

10

=1．…（10分）

点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．