Question

（文）若

x≤2，y≤2 x+y≥2

，则目标函数z=x+2y的取值范围是

[2，6]，（±

15

2

，0）

．
（理）将曲线 

x=cosθ y=sinθ

 (θ∈R)，上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的

1

2

倍后，得到的曲线的焦点坐标为

（±

15

2

，0）

．

Answer 1

分析：（文）画出

x≤2，y≤2 x+y≥2

的可行域，则 A（2，0），B（2，2）是目标函数z=x+2y最优解．把 A（2，0），B（2，2）分别代入目标函数z=x+2y得到z的最小值和最大值，从而得到目标函数z=x+2y的取值范围．
（理）先将曲线

x=cosθ y=sinθ

 (θ∈R)上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的

1

2

倍后，得到的曲线是

x=2cosθ y= 1 2 sinθ

 (θ∈R)，再化成普通方程，表示焦点在x轴的椭圆，最后求得其焦点坐标即可．

解答：解：（文）画出

x≤2，y≤2 x+y≥2

的可行域，则 A（2，0），B（2，2）是目标函数z=x+2y最优解．
把 A（2，0），B（2，2）分别代入目标函数z=x+2y得到z=2和z=6，
故 2≤z≤6，即目标函数z=x+2y的取值范围是[2，6]．
故答案为：[2，6]．

（理）将曲线 

x=cosθ y=sinθ

 (θ∈R) 上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的

1

2

倍后，
得到的曲线是：

x=2cosθ y= 1 2 sinθ

 (θ∈R)，其普通方程为：

x2

4

+

y2

1 4

=1，表示焦点在x轴的椭圆，
其a=2，b=

1

2

，c=

15

2

． 焦点坐标为（±

15

2

，0），
故答案为：（±

15

2

，0）．

点评：本题主要考查线性规划问题，伸缩变换、椭圆的简单性质，考查运算求解能力，体现了数形结合的数学思想，
属于基础题．