Question

以下命题：
①若|

a

-

b

|=|

a

|-|

b

|，则

a

∥

b

；
②

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影为

1

5

；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，

BC

-

CA

=20；
④若非向量

a

、

b

满足|

a

-

b

|=|

b

|，则|2

b

|＞|

a

+2

b

|．
其中所有真命题的标号是

①②

．

Answer 1

分析：①已知|

a

-

b

|=|

a

|-|

b

|，两边平方，可以对其进行判断；
②

a

=（-1，1）在

b

=（3，4），求出两个向量的余弦值，

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影为|

b

|cos＜

a

，

b

＞；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，

BC

-

CA

是一个向量，不可能是一个值；
④非向量

a

、

b

满足|

a

-

b

|=|

b

|，两边平方可得|

a

|=2|

b

|cos＜

a

，

b

＞，利用等价的方法进行证明；

解答：解：①∵|

a

-

b

|=|

a

|-|

b

|，两边平方可得|

a

|²+|

b

|²-2

a

•

b

=|

a

|²+|

b

|²-2|

a

||

b

|，
可得

a

•

b

=|

a

||

b

|，可得cos＜

a

，

b

＞=0，可得

a

，

b

平行，可得

a

∥

b

，故①正确；
②因为

a

=（-1，1），

b

=（3，4）可得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

-3+4

2 ×5

=

2

10

，
∴

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影为|

a

|cos＜

a

，

b

＞=

2

×

2

10

=

1

5

，故②正确；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，

BC

-

CA

，两个向量相减结果应该是一个向量，不可能为一个数，
故③错误；
④非向量

a

、

b

满足|

a

-

b

|=|

b

|，|

a

|²+|

b

|²-2

a

•

b

=|

b

|²，可得，|

a

|²=2

a

•

b

，
要证明：|2

b

|＞|

a

+2

b

|?4|

b

|²＞|

a

|²+4|

b

|²+4

a

•

b

?|

a

|²+2|

a

|²＜0，
因为向量

a

、

b

是非零的，|

a

|＞0，可得，|

a

|²+2|

a

|²＞0，故④错误，
综上①②正确；
故答案为：①②；

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量的数量积与向量的夹角与模，考查综合分析与解决问题的能力，属于中档题．