Question

已知A，B，C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量 满足：，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式：
（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围；
（3）若对任意，不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量 满足：，A，B，C在同一条直线上，知（）+[ln（2+3x）-y]=1，由此能求出函数y=f（x）的解析式．
（2）由f（x）=2x+b，知b=f（x）-2x=ln（2+3x）+-2x，令，利用导数知识能求出b的取值范围．
（3）由已知的不等式解出a的取值范围并得到a的取值使不等式成立即可．
解答：解：（1）∵向量 满足：，
∴，
又∵A，B，C在同一条直线上，
∴（）+[ln（2+3x）-y]=1，
∴y=ln（2+3x）+．
故f（x）=ln（2+3x）+．…（3分）
（2）∵f（x）=2x+b，f（x）=ln（2+3x）+．
∴b=f（x）-2x=ln（2+3x）+-2x，
令，
则=，
∴当x∈（0，）时，φ'（x）＜0；当时，φ'（x）＞0．
∵φ（0）=ln2，，，
ln5--ln2=ln-=ln＞0，
∴b∈（ln3-，ln2）．
∴b的取值范围是．…（8分）
（3）由|a-lnx|-ln[f′（x）+3x]＞0，
得a＞lnx+ln3-ln（2+3x）或a＜lnx-ln3+ln（2+3x），
设h（x）=lnx+ln3-ln（2+3x），g（x）=lnx-ln3+ln（2+3x）
依题意知a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[，]上恒成立，
∵h′（x）=＞0，g′（x）=＞0，
∴g（x）与h（x）都在[，]上单增，要使不等式成立，
当且仅当a＞h（）或a＜g（），即a＞ln或a＜ln．…（14分）
点评：本题考查学生利用向量、导数研究函数极值的能力，综合运用方程与函数的能力，以及求导数的能力．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．