Question

（文）如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，在它的12条棱及12条面的对角线所在的直线中，选取若干条直线确定平面，在所有的这些平面中：
（1）、过B₁C且与BD平行的平面有且只有一个；
（2）、过B₁C且与BD垂直的平面有且只有一个；
（3）、存在平面α，过B1C与直线BD所成的角等于30．
其中是真命题的个数是（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：（1）先由线面平行的判定定理可证明符合条件的平面有平面B₁D₁C，再说明它的唯一性；（2）利用反证法，若存在过B₁C且与BD垂直的平面α，则BD与B₁C所成的角为90°，这与事实BD与B₁C所成的角为30°矛盾；（3）可以计算BD与平面A₁B₁CD所成的角就是30°：连接BC₁交B₁C于O，证明∠BDO就是直线BD与平面A₁B₁CD所成的角，进而在直角三角形中计算即可

解答：解：（1）在24条直线中，与直线BD平行的直线只有B₁D₁，故过B₁C且与BD平行的平面有且只有一个即平面B₁D₁C，故（1）正确；
（2）因为直线BD与直线B₁C所成的角即为∠A₁DB，已知△A₁DB为等边三角形，所以直线BD与直线B₁C所成的角为60°，
假设存在过B₁C且与BD垂直的平面α，则因为B₁C?α，所以BD⊥B₁C，这与事实矛盾
故不可能存在过B₁C且与BD垂直的平面，（2）错误
（3）连接BC₁交B₁C于O
∵BC₁⊥B₁C，CD⊥BC₁，B₁C∩CD=C
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，即BO⊥平面A₁B₁CD
∴∠BDO就是直线BD与平面A₁B₁CD所成的角
在直角三角形BDO中，BD=

2

a，BO=

2

2

a，
∴∠BDO=30°
∴直线BD与平面A₁B₁CD所成的角为30°
故存在平面α，即平面A₁B₁CD，过B₁C与直线BD所成的角等于30°，（3）正确
故真命题的个数为2
故选C

点评：本题考查了正方体中的线面关系，线面平行、线面垂直的判定与性质，线面角的计算，具有较强的空间想象能力和推理能力是解决本题的关键