Question

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB₁的中点．
（1）求证：面DA₁C⊥面AA₁C₁C；
（2）若二面角A-A₁D-C的平面角为60°，求

AA1

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C与AC₁交于点F，连接EF，欲证平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C，根据面面垂直的判定定理可知在平面A₁EC内一直线与平面AA₁C₁C垂直，而根据线面垂直的判定定理可得EF⊥面AA₁C₁C，满足定理条件；
（2）先作出相应的辅助线，作出二面角的平面角，利用角为60°建立方程，即可求出比值．

解答：证明：（1）取A₁C的中点E，取AC的中点F，连接EF，DE，BF．
则由条件可得DE∥BF，又面BAC⊥面AA₁C₁C且交于AC，∴BF⊥AC，
BF⊥面AA₁C₁C，∴DE⊥面AA₁C₁C
而DE?面DA₁C，所以平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（2）延长DA₁交AB的延长线于点G，则有CB⊥平面AA₁B₁C
过B作BH⊥A₁G于H，边CH，则A₁G⊥CH，
所以∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角．
设AA₁=2b，AB=BC=a，在直角三角形A₁AG中，AB=BG，
在直角三角形DBG中，HB=

BD•BG

DG

=

ab

a2+b2

，
在直角三角形CHB中，tan∠CHB=

BC

BH

=

a2+b2

b

，
∴

a2+b2

b

=tan60°=

3

．
∴

2b

2

=

2

，
∴

AA1

AB

=

2

．

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角及其度量等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．