Question

已知双曲线的标准方程为

x2

9

-

y2

16

=1，F为其右焦点，A₁，A₂是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A₁，A₂的任意一点，直线A₁P，A₂P与直线x=a分别交于两点M，N，若

FM

•

FN

=0，则a的值为（　　）

• A．

  16

  9

• B．

  9

  5

• C．

  25

  9

• D．

  16

  5

Answer 1

分析：双曲线

x2

9

-

y2

16

=1，右焦点F（5.0），A₁（-3，0），A₂（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），由P，A₁，M三点共线，知

m

a+3

 =

y

x+3

，故m=

y(a+3)

x+3

，由P，A₂，N三点共线，知

n

a-3

= 

y

x-3

，故n=

y(a-3)

x-3

，由

FM

 =(a-5， 

y(a+3)

x+3

 )，

FN

=(a-5，

y(a-3)

x-3

)和

FM

•

FN

=0，能求出a的值．

解答：解：∵双曲线

x2

9

-

y2

16

=1，右焦点F（5，0），A₁（-3，0），A₂（3，0），
设P（x，y），M（a，m），N（a，n），
∵P，A₁，M三点共线

m

a+3

 =

y

x+3

，
∴m=

y(a+3)

x+3

，
∵P，A₂，N三点共线，
∴

n

a-3

= 

y

x-3

，
∴n=

y(a-3)

x-3

，
∵

x2

9

-

y2

16

=1，
∴

(x2-9)

9

=

y2

16

，
∴

y2

( x2-9)

= 

16

9

，

FM

 =(a-5， 

y(a+3)

x+3

 )，

FN

=(a-5，

y(a-3)

x-3

)，
∴

FM

•

FN

=（a-5）²+

y2( a2-9)

x2-9

=（a-5）²+

16(a2-9)

9

，
∵

FM

•

FN

=0，
∴（a-5）²+

16(a2-9)

9

=0，
∴25a²-90a+81=0，
∴a=

9

5

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．