Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（1）当a=﹣ 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时， ，

∴

解f′（x）＞0得﹣1＜x＜1；

解f′（x）＜0得x＞1．

∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞）

（2）解：因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，

∴ 对x∈[1，+∞）恒成立

即a≤ 对x∈[1，+∞）恒成立

∴a≤﹣

（3）解：∵当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，

即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，

设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0），

只需g（x）max≤0即可

由

①当a=0时， ，

当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴g（x）≤g（0）=0成立

②当a＞0时，令g′（x）=0，

∵x≥0，

∴解得

1）当 ，即 时，在区间（0，+∞）上g′（x）＞0，

则函数g（x）在（0．+∞）上单调递增，

∴g（x）在[0，+∞）上无最大值，不合题设．

2）当 时，即 时，在区间 上g′（x）＜0；

在区间 上g′（x）＞0．

∴函数g（x）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，

同样g（x）在[0，+∞）无最大值，不满足条件．

③当a＜0时，由x≥0，故2ax+（2a﹣1）＜0，

∴ ＜0，

∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，

∴g（x）≤g（0）=0成立，

综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]

【解析】（1）当 时，直接对f（x）求导，解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数可确定a≤ ，又 最小值为 ，从而可确定a的取值范围；（3）不等式f（x）﹣x≤0可化简为ax2+ln（x+1）﹣x≤0，分情况讨论，a=0，a＜0和a＞0时ax2+ln（x+1）﹣x≤0是否恒成立即可．