Question

如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为α_i（i=1，2，3），则cos

α1

3

cos

α2+α3

3

-sin

α1

3

sin

α2+α3

3

=

 

．

Answer 1

分析：根据cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ公式的逆运算得到cos

α1

3

cos

α2+α3

3

-sin

α1

3

sin

α2+α3

3

=cos

α1+α2+α3

3

，由题意可知，α₁+α₂+α₃=2π得到cos

α1+α2+α3

3

=cos

4π

3

=-

1

2

．

解答：解：cos

α1

3

cos

α2+α3

3

-sin

α1

3

sin

α2+α3

3

=cos

α1+α2+α3

3

，方法
可令同过P点的三圆的交点分别是A，B，C，连接PA，PB，PC，可得得出∠APB+∠APC+∠BPC=2π
因为在各个圆的半径相等，故此三个角的大小都为

2π

3

由于在圆中同弦所对的圆周角互补，故在各个圆中，AB，BC，CA所与三角相对的圆周角为

π

3

故AB，BC，CA所对的圆心角是

2π

3

，
又α₁+α₂+α₃=2π，所以cos

α1+α2+α3

3

=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：此题考查学生利用两角和与差的余弦函数的能力．