Question

（2013•南通三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，四条侧棱长均相等．
（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面ABCD．

Answer 1

分析：（1）由矩形ABCD，对边平行得到AB∥CD，结合线面平行的判定定理得到AB∥平面PCD；
（2）连结BD，交AC于点O，连结PO，由在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，可得PO⊥AC，PO⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到PO⊥平面ABCD，进而由面面垂直的判定定理得到平面平面PAC⊥平面ABCD．

解答：证明：（1）在矩形ABCD中，AB∥CD，
又AB?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AB∥平面PCD．        …（6分）
（2）如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，
在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，
又PA=PB=PC=PD，
故PO⊥AC，PO⊥BD，…（9分）
又AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，…（12分）
又PO?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．                 …（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，属于中档题．