Question

已知函数f(x)=

a

x

+x+(a-1)lnx+15a，F（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 当a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若x=-1时，函数F（x）有极值，求函数F（x）图象的对称中心的坐标；
（Ⅲ）设函数g（x）=

F(x)，x≤1 f(x)，x＞1

（e是自然对数的底数），是否存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 当a=-2，对f（x）求导数f′（x），令f'（x）＞0，解得f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）由F（x）在x=-1时有极值，得F'（-1）=0，求出a的值，从而得F（x）的解析式，求出F（x）图象的对称中心；
（Ⅲ）假设命题成立，则F（x）在[a，1]上是减函数，f（x）在[1，-a]上是减函数，且F（1）≥f（1），从而求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） 当a=-2，f（x）=

-2

x

+x-3lnx-30（x＞0），
∴f′(x)=

2

x2

+1-

3

x

=

x2-3x+2

x2

，
设f'（x）＞0，
即x²-3x+2＞0，
∴x＜1，或x＞2，
∴f（x）单调增区间是（0，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）∵F（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，当x=-1时，函数F（x）有极值，
∴F'（x）=6x²-6（2a+3）x+12（a+1），
且F'（-1）=0，∴a=-

3

2

，
∴F（x）=2x³-6x-16，
又F（x）=2x³-6x-16的图象可由F1(x)=2x3-6x的图象向下平移16个单位长度得到，而F1(x)=2x3-6x的图象关于（0，0）对称，
∴函数F（x）=2x³-6x-16的图象的对称中心坐标为（0，-16）；
（Ⅲ）假设存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，F'（x）=6x²-6（2a+3）x+12（a+1）=6（x-1）（x-2a-2），
当g（x）在[a，-a]上为减函数，则F（x）在[a，1]上为减函数，f（x）在[1，-a]上为减函数，且F（1）≥f（1），则a≥-3．
由（Ⅰ）知当a＜-1时，f（x）的单调减区间是（1，-a），
（1）当a=-

1

2

时，F'（x）=6（x-1）²≥0，F（x）在定义域上为增函数，不合题意；
（2）当a＞-

1

2

时，由F'（x）＜0得：1＜x＜2a+2，F（x）在（-∞，1]上为增函数，则在[a，1]上也为增函数，也不合题意；
（3）当a＜-

1

2

时，由F'（x）＜0得：2a+2＜x＜1，F（x）在[2a+2，1]上为减函数，如果g（x）在[a，-a]上为减函数，
则F（x）在[a，1]上为减函数，
则：2a+2≤a，∴a≤-2．
综上所述，符合条件的a满足[-3，-2]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的单调性研究函数的极值与对称问题，是易错题．