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已知函数为自然对数的底数).
(1)当时,求的单调区间;
(2)对任意的恒成立,求的最小值;
(3)若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.

(1)函数的单调减区间为单调增区间为;(2)实数的最小值为
(3)实数的取值范围是.

解析试题分析:(1)把代入函数的解析式,直接利用导数求函数在定义域上的单调区间;(2)利用参数分离法将问题中的不等式等价转化为上恒成立,即,进而求出参数的取值范围,从而求出的最小值;(3)先利用导数求出函数上的值域,利用导数研究函数的单调性,并求出方程的唯一根,将条件“对于任意给定的
,在总存在两个不同的,使得”转化为“函数在区间上存在唯一极值点,即,且函数在区间和区间上的值域均包含函数在区间上的值域”,从而列出相应的不等式进行求解参数的取值范围.
试题解析:(1)当时,
,由
的单调减区间为,单调增区间为
(2)即对恒成立,
,则
再令
上为减函数,于是
从而,,于是上为增函数,
故要恒成立,只要,即的最小值为
(3),当时,,函数单调递增,
时,,函数单调递减,

所以,函数上的值域为.
时,不合题意;

练习册系列答案
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已知函数 
(I)函数在区间上是增函数还是减函数?证明你的结论;
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(Ⅲ)试证明: 

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已知函数
(I)求的单调区间;
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已知函数
(1)求的单调递减区间;
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已知x=1是函数的一个极值点,
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(Ⅱ)当时,证明:

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是函数的一个极值点.
(1)求的关系式(用表示),并求的单调递增区间;
(2)设,若存在使得成立,求实数的取值范围.

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已知函数,其中
(Ⅰ)若的最小值为,试判断函数的零点个数,并说明理由;
(Ⅱ)若函数的极小值大于零,求的取值范围.

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