已知函数,(,为自然对数的底数).
(1)当时,求的单调区间;
(2)对任意的,恒成立,求的最小值;
(3)若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.
(1)函数的单调减区间为单调增区间为;(2)实数的最小值为;
(3)实数的取值范围是.
解析试题分析:(1)把代入函数的解析式,直接利用导数求函数在定义域上的单调区间;(2)利用参数分离法将问题中的不等式等价转化为在上恒成立,即,进而求出参数的取值范围,从而求出的最小值;(3)先利用导数求出函数在上的值域,利用导数研究函数的单调性,并求出方程的唯一根,将条件“对于任意给定的
,在总存在两个不同的,使得”转化为“函数在区间上存在唯一极值点,即,且函数在区间和区间上的值域均包含函数在区间上的值域”,从而列出相应的不等式进行求解参数的取值范围.
试题解析:(1)当时,,,
由,,由,,
故的单调减区间为,单调增区间为;
(2)即对,恒成立,
令,,则,
再令,,,
在上为减函数,于是,
从而,,于是在上为增函数,,
故要恒成立,只要,即的最小值为;
(3),当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
,,,
所以,函数在上的值域为.
当时,不合题意;
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线排水管,在路南侧沿直线排水管(假设水管与公路的南,北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线),现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通.已知AB = 60m,BC = 60m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元,设EF与AB所成角为.矩形区域内的排管费用为W.
(1)求W关于的函数关系式;
(2)求W的最小值及相应的角.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3),其导函数的图象如图,f(x)=6lnx+h(x)
(1)求f(x)在x=3处的切线斜率;
(2)若f(x)在区间(m,m+)上是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)若对任意k∈[-1,1],函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y=f(x)图象的上方,求c的取值范围
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