Question

【题目】如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，E、F、H分别为AP、AB、AC的中点，PF交BE于点M，CF交BH于点N，，．

求证：平面BEH；

求证：；

求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）。

【解析】

（1）推导出BH⊥AC，EH⊥AC，由此能证明AC⊥平面BEH．

（2）推导出N是△ABC的重心，M是△ABP的重心，从而，由此能证明PC∥MN．

（3）取BH的中点G，连结AG，推导出EG⊥BH，EG⊥AC，EG⊥平面ABC，从而∠EAG是PA与平面ABC所成角，由此能求出直线PA与平面ABC所成角的正弦值．

证明：是边长为2的正三角形，H是AC中点，

，

，E、H分别为AP、AC的中点，

，，

，平面BEH．

证明：交BE于点M，CF交BH于点N，

是边长为2的正三角形，，E、F、H分别为AP、AB、AC的中点，

是的重心，，M是的重心，，

，．

取BH的中点G，连结AG，

，，

平面BEH，，平面ABC，

是PA与平面ABC所成角，

在中，，，，

直线PA与平面ABC所成角的正弦值为．