Question

12．某个公司调查统计它的员工每周参与体育锻炼的时间，样本容量为100人，将调查结果统计为频率分布直方图，如图．我们将每周体育锻炼时间不低于150分钟的人称为“勤于锻炼者”，并将有关性别的信息统计到表中．

	“勤于锻炼者”	非“勤于锻炼者”	合计
男	25		70
女
合计

（1）根据图表信息，判断“勒于锻炼者”是否与性别有关？
附：X²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1}+{n}_{2}+{n}_{+1}+{n}_{+2}}$

p（X2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

（2）在调查中还统计了员工的年龄，发现公司员工的年龄服从正态分布N（35，9），那么从公司中随机选取一名员工，他的年龄在32-38岁之间的概率是多少？（Φ（1）=0.8413）
（3）由于猜测员工的锻炼时间y与年龄x成线性相关，所以根据调查结果进行了线性回归分析，得到回归方程为y=-5x+b，如果员工的平均锻炼时间是110分钟，那么请判断下列说法的正误：
①b=285；
②由于回归方程的斜率是负的，说明年龄越大的员工，每周锻炼时间一定越短；
③由于回归直线方程的斜率是负的，说明两个变量的相关关系是负相关；
④能够算出回归方程，说明两个变旦之间确实是线性相关关系；
⑤回归直线是所有直线中穿过数据点最多的直线；
⑥两个变量是不是成线性相关关系还要看相关系数的大小．

Answer 1

分析 （1）补充2×2列联表，并计算出K²的值，与临界值比较后，可得是否“勒于锻炼者”与性别无关；
（2）由公司员工的年龄服从正态分布N（35，9），Φ（1）=0.8413，可得随机选取一名员工，他的年龄在32-38岁之间的概率为2×0.8413-1；
（3）根据回归方程及相关关系的相关概念逐一分析六个命题的真假，可得结论．

解答 解：（1）完整的2×2列联表如下表所示：

	“勤于锻炼者”	非“勤于锻炼者”	合计
男	25	45	70
女	15	15	30
合计	40	60	100

则K²=$\frac{100{（25×15-45×15）}^{2}}{40×60×30×70}$=$\frac{25}{14}$≈1.786＜3.841，
故是否“勒于锻炼者”与性别无关；
（2）∵公司员工的年龄服从正态分布N（35，9），Φ（1）=0.8413，
∴从公司中随机选取一名员工，他的年龄在32-38岁之间的概率P=2×0.8413-1=0.6826
（3）由于猜测员工的锻炼时间y与年龄x成线性相关，所以根据调查结果进行了线性回归分析，得到回归方程为y=-5x+b，
如果员工的平均锻炼时间是110分钟，年龄的平均数为35，
故110=-5×35+b，
故b=285，即①正确；
由于回归方程的斜率是负的，说明年龄越大的员工，每周锻炼时间平均会越短，但不是一定变短，故②错误；
由于回归直线方程的斜率是负的，说明两个变量的相关关系是负相关，故③正确；
能够算出回归方程，但不能说明两个变旦之间确实是线性相关关系，故④错误；
回归直线可能不经过任何数据点，故⑤错误；
两个变量是不是成线性相关关系还要看相关系数的大小，故⑥正确．
故①③⑥正确；②④⑤错误；

点评 本题考查的知识是独立性检验，回归分析，正态分布，是统计和概率知识的综合应用，难度中档．