若函数y=f(x)(x∈R+)同时满足:①对一切正数x都有f(3x)=3f(x),②f(x)=1-|x-2|(1≤x≤3),则f(100)=则方程f(x)=f(100)的解的最小值为________.
46
分析:f(100)=3f(
)=3f(3×
)=9f(
)=…=81f(
),由此猜想f(x)=
,由
,知
=81•[1-|
|]=19,f(100)=19,由此能求出方程f(x)=f(100)解的最小值.
解答:f(100)=3f(
)=3f(3×
)=9f(
)=…=81f(
),
由此猜想f(x)=
,
∵
,∴
=81•[1-|
|]=19,
∴f(100)=19,
由f(x)=19,知
,
当1
,即3
n≤x≤3
n+1时,
可化为
,
即3
n-|2•3
n-x|=19,x=19+3
n,或x=3
n+1-19,
又3
n≤x≤3
n+1,则n≥3,
当n=3时,x=19+27=46,
,或x=62,
[1,3],
故方程f(x)=f(100)解的最小值为46.
点评:本题考查归纳推理的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意抽象函数的性质及其应用.