Question

已知函数f（x）=

3

cos2

ωx

2

+

1

2

asinωx-

3

2

a（ω＞0，a＞0）在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求ω与a的值；
（Ⅱ）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀-1）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的恒等变换求出函数的正弦型函数的形式，进一步利用函数的图象求出函数的周期和最值，进一步确定函数的解析式．
（Ⅱ）利用上步结论，对函数的角进行恒等变换，进一步利用函数的定义域求出函数的值，最后利用函数的值求出最终结果．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

cos2

ωx

2

+

1

2

asinωx-

3

2

a
=asin（ωx+

π

3

）
由函数的图象得：BC=4=

T

2

则：T=8
所以：ω=

2π

8

=

π

4

所以：a=BAsin

π

3

=2

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
所以：f(x0)=2

3

sin(

π

4

x0+

π

3

)=

8 3

5

解得：sin(

π

4

x0+

π

3

)=

4

5

x0∈(-

10

3

，

2

3

)
所以：

π

4

x0+

π

3

∈(-

π

2

，

π

2

)
所以：cos(

π

4

x0+

π

3

)=

3

5

f（x₀-1）=2

3

sin[(

π

4

x0+

π

3

-

π

4

)
=2

3

（

4

5

•

2

2

-

3

5

•

2

2

）
=

6

5

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的图象求函数的关系式，利用函数的定义域求函数的值域，进一步求函数的值．属于基础题型．