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22.已知集合M是满足下列性质的函数fx)的全体:存在非零常数T,对任意xR,有fx+T)=Tfx)成立.

(1)函数fx)=x是否属于集合M?说明理由;

(2)设函数fx)=axa>0且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:fx)=axM;

(3)若函数fx)=sinkxM,求实数k的取值范围.

22.

解:(1)对于非零常数Tfx+T)=x+T,Tfx)=Tx.

因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以fx)=x M.

 

(2)因为函数fx)=axa>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,

所以方程组:有解,消去yax=x,

显然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常数T,使aT=T.

于是对于fx)=ax,有fx+T)=ax+T=aT·ax=T·ax=Tfx),

fx)=axM.

 

(3)当k=0时,fx)=0,显然fx)=0∈M.

k≠0时,因为fx)=sinkxM,所以存在非零常数T

对任意x∈R,有fx+T)=Tfx)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx.

因为k≠0,且xR,所以kxR,kx+kTR,

于是sinkx∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立,只有T=±1.

T=1时,sin(kx+k)=sinkx成立,则k=2mπ,mZ.

T=-1时,sin(kxk)=-sinkx成立,

即sin(kxk+π)=sinkx成立,

则-k+π=2mπ,mZ,即k=-(2m-1)π,m∈Z.

综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.


练习册系列答案
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1
x
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a
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1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)

在三个函数f1(x)=x-1,f2(x)=2x-1f3(x)=ln
x+1
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f3(x)
f3(x)
(写出您认为正确的所有函数.)

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a
2
 , 
b
2
]
.若函数g(x)=
x-1
+m
,g(x)∈M,则实数m的取值范围是
(0 , 
1
2
]
(0 , 
1
2
]

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