Question

22.已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立.

（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f（x）=a^x（a>0且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x∈M;

（3）若函数f（x）=sinkx∈M,求实数k的取值范围.

Answer 1

22.

解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T,Tf（x）=Tx.

因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=x M.

 

（2）因为函数f（x）=a^x（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组：有解，消去y得a^x=x,

显然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常数T，使a^T=T.

于是对于f（x）=a^x,有f（x+T）=a^x+T=a^T·a^x=T·a^x=Tf（x）,

故f（x）=a^x∈M.

 

（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M.

当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M,所以存在非零常数T，

对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx.

因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,

于是sinkx∈［－1,1］,sin（kx+kT）∈［－1,1］,

故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，只有T=±1.

当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ,m∈Z.

当T=－1时，sin（kx－k）=－sinkx成立，

即sin（kx－k+π）=sinkx成立，

则－k+π=2mπ,m∈Z,即k=－（2m－1）π,m∈Z.

综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.