Question

12．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直线l：x-y+1=0交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若$3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}$，则椭圆的方程是x²+4y²=1．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，故设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1$，λ＞0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，得5x²+8x+4-4λ²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4-4{λ}^{2}}{5}$，…①，C（0，1），$3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}$，可得5x₂=3x₁．…②，把②代入①得λ²

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，设a=2λ，（λ＞0），则c=$\sqrt{3}λ$，b=λ，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1$，λ＞0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，得5x²+8x+4-4λ²=0，
△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4-4{λ}^{2}}{5}$，…①，C（0，1），
∵$3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}$，∴5x₂=3x₁．…②，把②代入①得λ²=$\frac{1}{4}$，
可得x²+4y²=1．
故答案为：x²+4y²=1．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系，关键是要把向量式转化为坐标关系，利用韦达定理，属于中档题．