Question

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内存在最小值，则实数k的取值范围是（　　）

• A、[1，+∞）
• B、[1，

  3

  2

  ）
• C、[1，2）
• D、[

  3

  2

  ，2）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x）定义域为（0，+∞），由f'（x）=0，得x=

1

2

，由题意可得，

k-1＜ 1 2 ＜k+1 f′(k-1)＜0 f′(k+1)＞0 k-1≥0

，由此求得实数k的取值范围．

解答：解：∵f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-

1

x

，由f'（x）=0，得x=

1

2

．
根据函数在区间（k-1，k+1）内存在最小值，
可得函数在区间（k-1，

1

2

）内是减函数，在区间（

1

2

，k+1）内是增函数，
即函数f′（x）在区间（k-1，

1

2

）内小于零，在区间（

1

2

，k+1）内大于零．
故有

k-1＜ 1 2 ＜k+1 f′(k-1)＜0 f′(k+1)＞0 k-1≥0

，解得1≤k＜

3

2

，
故选：B．

点评：本题主要考查函数零点的判定定理，函数在一个区间内存在极值的条件，体现了转化的数学思想，属于中档题．