Question

已知{a_n}，{b_n}为两个数列，点M(1，2)，An(2，an)，Bn(

n-1

n

，

2

n

)为坐标平面上的点．
（Ⅰ）对n∈N*，若点M、A_n、B_n在同一直线上，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足

a   1 b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

=2n-3，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据M，A_n，B_n共线，可得kMAn=kMBn，解此方程即可求得结果；
（Ⅱ）根据（I）可求出a₁+a₂+…+a_n，从而得到a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n（n+1）（2n-3），根据数列前n项和与数列通项公式的关系，即可求得结果．

解答：解：（Ⅰ）∵M，A_n，B_n共线，
kMAn=kMBn，
∴an-2=

2 n -2

n-1 n -1

=2n-2，
∴a_n=2n；
（Ⅱ）∵a_n=2n，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（n+1）
即a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n（n+1）（2n-3）
当n=1时，a₁b₁=1×2×（-1），∴b₁=-1
当n≥2时，a_nb_n=n（n+1）（2n-3）-（n-1）n（2n-5）=2n（3n-4）
∴b_n=3n-4（n=1也成立）
综上：b_n=3n-4，Sn=

3n2-5n

2

．

点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式求通项公式时，应注意经验首项是否满足通项，考查分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．