Question

17．如图所示，在几何体ABCDE中，AB=BC=CA=EB=EC=2$\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{2}$，点D在底面ABC上的射影O为底面三角形ABC的中心，平面BEC⊥平面ABC．
（1）证明：A，D，E，O四点共面；
（2）求几何体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，取BC的中点F，连接AF，EF，则AF经过点O．利用等边三角形的性质可得：EF⊥BC，再利用面面垂直的性质可得EF⊥平面ABC，可得DO∥EF，进而证明结论．
（2）OF=$\frac{1}{3}AF$，AF=ABcos30°=3，可得OF=1．过点E作EM⊥OD，垂足为M，则EM=OF=1，DM=$\sqrt{D{E}^{2}-E{M}^{2}}$．EF=AF，可得DO=DM+MO．又V_{三棱锥D-ABC}=$\frac{1}{3}DO•{S}_{△ABC}$，V_{三棱锥D-BEC}=$\frac{1}{3}OF•{S}_{△BEC}$，几何体ABCDE的体积=V_{三棱锥D-ABC}+V_{三棱锥D-BEC}，即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，取BC的中点F，连接AF，EF，则AF经过点O．
∵BC=EB=EC=2$\sqrt{3}$，
∴EF⊥BC，
∵平面BEC⊥平面ABC，平面BEC∩平面ABC=BC．
∴EF⊥平面ABC，又DO⊥平面ABC．
∴DO∥EF，
∴D，E，F，O，四点共面，而A，O，F，E四点共面，
∴A，D，E，O四点共面；
（2）解：OF=$\frac{1}{3}AF$，AF=ABcos30°=$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，∴OF=1．
过点E作EM⊥OD，垂足为M，
则EM=OF=1，
∴DM=$\sqrt{D{E}^{2}-E{M}^{2}}$=1．
EF=AF=3，
∴DO=DM+MO=1+3=4．
∴V_{三棱锥D-ABC}=$\frac{1}{3}DO•{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×4×\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$=4$\sqrt{3}$．
V_{三棱锥D-BEC}=$\frac{1}{3}OF•{S}_{△BEC}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$=$\sqrt{3}$．
∴几何体ABCDE的体积=V_{三棱锥D-ABC}+V_{三棱锥D-BEC}=5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、几何体的体积计算公式、勾股定理、等边三角形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．