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    抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，C上动点P到直线l：3x+4y-12=0的最短距离为1，求抛物线C的方程．
    【答案】分析：根据直线方程可知直线的斜率和y轴上的截距，抛物线如果开口向上，与直线l会相交，最短距离不会等于1，进而可推断出抛物线开口向下，设其方程，抛物线上到直线l距离最短的点，是平行于l的抛物线的切线m的切点，最短距离就是切线到l的距离．设出m的方程，利用点到直线的距离求得q，则m的方程可得．与抛物线方程联立利用判别式等于0求得p，则抛物线的方程可得．
    解答：解：直线l：3x+4y-12=0的斜率k=-，y轴上的截距：3，
    抛物线如果开口向上，与直线l会相交，最短距离不会等于1，
    所以抛物线开口向下，设其方程为：x2=2py，
    抛物线上到直线l距离最短的点，是平行于l的抛物线的切线m的切点，
    最短距离就是切线到l的距离．
    设m的方程为3x+4y+q=0，令m和l的距离=1，
    求得q=-7或-17，q=-17在l下方，舍去．所以m：3x+4y-7=0．
    与抛物线方程x2=2py联立，代入得2x2+3px-7p=0，
    只有一个公共点，△=9p2+56p=p（9p+56）=0，得P=-
    所以C的方程：x2=2（-）y，
    即 9x2+112y=0
    点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用判别式与0的关系判断出直线与圆锥曲线的交点．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F（1，0）．
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）命题：“过抛物线C的焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
    |AB||FM|
    为定值，且定值是2”．判断它是真命题还是假命题，并说明理；
    （Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（注，不必证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•河西区三模）抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，若过点M（0，2）任作一条直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2=-8，则抛物线C的方程为
    x2=4y
    x2=4y
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•河西区二模）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程是x=-2，过点M（-1，1）的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B
    （I）求抛物线C的方程及直线l的斜率k的取值范围；
    （Ⅱ）求|
    		AB
    |    （用k表示）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•福建模拟）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且过点（1，2）．
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）命题：“过椭圆
    x2
    25
    +
    y2
    16
    =1    的一个焦点F1作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
    |AB|
    |F1M|
    为定值，且定值是
    10
    3
    ”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线T，过该圆锥曲线焦点F1的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F1、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明．
    （Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）．

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