Question

16．如图是底面积为$\sqrt{3}$，体积为$\sqrt{3}$的正三棱锥的主视图（等腰三角形）和左视图（等边三角形），此正三棱锥的侧视图的面积为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 设棱长为a，则每个面的斜高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，由底面积为$\sqrt{3}$能求出a=2，由体积为$\sqrt{3}$，求出三棱锥的高为3．作出这个三棱锥S-ABC，取AC中点D，连结SD、BD，则△SBD是正三棱锥的侧视图，由此能求出此正三棱锥的侧视图的面积．

解答 解：设棱长为a，则每个面的斜高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
所以底面积S=$\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}a}{2}=\sqrt{3}$，
解得：a=2．
体积V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}h$=$\sqrt{3}$，
解得三棱锥的高h=3．
作出这个三棱锥，如图S-ABC，SO⊥平面ABC，则SO=3，△ABC是边长为2的等边三角形，
取AC中点D，连结SD、BD，则BD=$\sqrt{3}$，
△SBD是正三棱锥的侧视图，
∴此正三棱锥的侧视图的面积为S_△SBD=$\frac{1}{2}×BD×SO$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查正三棱锥的侧视图的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的三视图的性质的合理运用．