Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象过原点，且在x=1处取得极值，直线x-3y+3=0与曲线y=f（x）在原点处的切线互相垂直．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若对任意实数的m，n∈[-2，2]，恒有|f（m）-f（n）|≤t成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象过原点，求c的值，根据在x=1处取得极值，直线x-3y+3=0与曲线y=f（x）在原点处的切线互相垂直，可求a，b的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（II）确定函数在[-2，2]上的最值，即可求得实数t的取值范围．

解答：解：（I）由题意有f（0）=c=0，f'（x）=3x²+2ax+b
∵函数在x=1处取得极值，∴f′（1）=3+2a+b=0
又曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=f′（0）=b，直线x-3y+3=0与曲线y=f（x）在原点处的切线互相垂直
∴b=-3，从而可得a=0，
∴f（x）=x³-x；
（II）由（I）f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）＞0可得x＜-1或x＞1；令f'（x）＜0可得-1＜x＜1
∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上为增函数，在（-1，1）上为减函数
∵f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2
∴f（x）在[-2，2]上的最大值是2，最小值是-2
∵对任意实数的m，n∈[-2，2]，恒有|f（m）-f（n）|≤t成立，
∴t≥|2-（-2）|，即t≥4．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的解析式，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的最值是关键．