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设命题p:曲线y=x3-2ax2+2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角;命题q:直线y=x+a与曲线y=x2-x+2有两个公共点;若命题p和命题q中有且只有一个是真命题,求实数a的取值范围.
【答案】分析:若命题p:曲线y=x3-2ax2+2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角为真命题,则他的导函数大于0恒成立,由此可构造一个关于a的不等式,解不等式可以求出满足条件的实数a的取值范围,及不满足条件的实数a的取值范围;若命题q:直线y=x+a与曲线y=x2-x+2有两个公共点,则方程x2-2x+2-a=0有两个不等根,由二次方程根的个数与△的关系,又可造一个关于a的不等式,解不等式可以求出满足条件的实数a的取值范围,及不满足条件的实数a的取值范围;根据命题p和命题q中有且只有一个是真命题,分类讨论即可得到答案.
解答:解:若命题p为真命题,则y′=3x2-4ax+2a>0对x∈R恒成立,…(2分)
∴△1=(4a)2-4×3×2a=8a(2a-3)<0,得;…(5分)
若命题q为真命题,则方程组有两组不同的解,即x2-2x+2-a=0有两个不等根,
∴△2=4-4(2-a)=4(a-1)>0,得a>1;…(10分)
那么,命题p为真命题而命题q为假命题时,即且a≤1,
得,0<a≤1;…(12分)
命题p为假命题而命题q为真命题时,即,得,
∴当命题p和命题q中有且只有一个是真命题时,.…(14分)
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,直线的倾斜角,直线与圆锥曲线的关系,其中求出命题p与命题q成立及不成立时,数a的取值范围是解答本题的关键.
练习册系列答案
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a+1
1
b+1
.则(  )

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A.“p或q”为真
B.“p且q”为真
C.p假q真
D.p,q均为假命题

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