【题目】已知函数
(1)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求a的值;
(2)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:f′(x)= + = 令f′(x)<0得x<﹣a,令f′(x)>0,得x>﹣a,
①﹣a≤1,即a≥﹣1时,f(x)在[1,e]上单增,f(x)最小值=f(1)=﹣a= ,a=﹣ <﹣1,不符,舍;
②﹣a≥e,即a≤﹣e时,f(x)在[1,e]上单减,f(x)最小值=f(e)=1﹣ = ,a=﹣ >﹣e,不符,舍;
③1<﹣a<e,即﹣e<a<﹣1时,f(x)在[1,﹣a]上单减,在[﹣a,e]上单增,f(x)最小值=f(﹣a)=ln(﹣a)+1= ,a=﹣ ,满足;
综上a=﹣ .
(2)解:由题意,只需a>xlnx﹣x3,x∈(1,+∞)恒成立,
令h(x)=xlnx﹣x3,h'(x)=lnx+1﹣3x2,h'(x)= ﹣6x= <0 在(1,+∞)上恒成立,
∴h'(x)在(1,+∞)上单减,又h'(1)=﹣2<0,
∴h'(x)<0 在(1,+∞)上恒成立,h(x)在(1,+∞)上单减,又h(1)=﹣1,
∴h(x)<﹣1在(1,+∞)上恒成立,
∴a≥﹣1
【解析】(1)求导,令f′(x)=0得x=﹣a,以﹣a在[1,e]内,左,右分为三类来讨论,函数在[1,e]上的单调性,进而求出最值,令其等于 ,求出a的值,由范围来取舍,得了a的值.(2)将f(x)代入不等式,分离出a,写在不等式的左边,设右边为函数h(x),求导,再求导,得出导数的正负,从而得出h'(x)的单调性,求最值,得出h'(x)的正负,得出h(x)的单调性,求出h(x)的最小值,得出a的取值范围.
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
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【题目】椭圆C:过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点.设点P(4,3),记PA、PB的斜率分别为k1和k2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于-1,求出k1k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
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【题目】已知函数的图象与轴的交点为,它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.
(1)求解析式及的值;
(2)求的单调增区间;
(3)若时,函数有两个零点,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1) 把的图象上每一点的纵坐标变为原来的倍,再将横坐标向右平移 个单位,可得图象,求,的值;
(2) 若对任意实数和任意,恒有,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=-x2+2mx+7.
(Ⅰ)已知函数y=(x)在区间[1,3]上的最小值为4,求m的值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤x2-6x+11在区间[1,2]上恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E、F分别是A1C1 , BC的中点.
(1)证明:平面AEB⊥平面BB1C1C;
(2)证明:C1F∥平面ABE;
(3)设P是BE的中点,求三棱锥P﹣B1C1F的体积.
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【题目】已知某算法的程序框图如图所示,若将输出的(x,y)值依次记为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),…
(1)若程序运行中输出的一个数组是(9,t),求t的值.
(2)程序结束时,共输出(x,y)的组数为多少?
(3)写出程序框图的程序语句.
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【题目】函数的一段图象如右图所示:
(1)求函数的解析式及其最小正周期;
(2)求使函数取得最大值的自变量的集合及最大值;
(3)求函数在的单调递增区间.
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