Question

已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA′、PB′是圆M的两条切线，A′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．

Answer 1

（1）(x－1)²＋(y－1)²＝4.（2）2

(1)设圆M的方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r²
(r>0)，根据题意得解得a＝b＝1，r＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)²＋(y－1)²＝4.
(2)由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S_△PA′M＋S_△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|_min＝＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2