Question

【题目】已知函数f（x）=（x+m）lnx，曲线y=f（x）在x=e（e为自然对数的底数）处得到切线与圆x2+y2=5在点（2，﹣1）处的切线平行．
（1）证明： ；
（2）若不等式（ax+1）（x﹣1）＜（a+1）lnx在x∈（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x）=（x+m）lnx，

∴f′（x）=lnx+ ，

易知圆x2+y2=5在点（2，﹣1）处的切线方程是2x﹣y=5，

由题意得f′（e）=2，即lne+ =2，解得：m=0，

∴f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，

令f′（x）=0，解得：x= ，

x∈（0， ）时，f′（x）＜0，

故f（x）在（0， ）递减，

x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0，

故f（x）在（ ，+∞）递增，

故f（x）在x= 处取极小值，也是最小值，最小值是f（ ）=﹣ ，

又﹣ ＞﹣ ，故f（x）＞﹣

（2）解：若不等式（ax+1）（x﹣1）＜（a+1）lnx在x∈（0，1）上恒成立，

则（a+1）lnx+ ﹣ax+a﹣1＞0在x∈（0，1）上恒成立，

设h（x）=（a+1）lnx+ ﹣ax+a﹣1，x∈（0，+∞），

则h′（x）= ，

①a≤0时，h′（x）＜0在（0，1）恒成立，

故h（x）在（0，1）递减，又h（1）=0，

故x∈（0，1）时，总有h（x）＞0，符合题意；

②a＞1时，令h′（x）=0，解得：x= 或x=1，

易知h（x）在（0， ）递减，在（ ，1）递增，又h（1）=0，

故x∈（ ，1）时，总有h（x）＜0，不符合题意；

③0＜a≤1时，h′（x）＜0在（0，1）恒成立，

故h（x）在（0，1）递减，又h（1）=0，

故x∈（0，1）时，总有h（x）＞0，符合题意；

综上，a的范围是（﹣∞，1]

【解析】（1）求出函数的导数，求出m的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）问题转化为（a+1）lnx+ ﹣ax+a﹣1＞0在x∈（0，1）上恒成立，设h（x）=（a+1）lnx+ ﹣ax+a﹣1，x∈（0，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可．