Question

(1)设l₁、l₂是两条异面直线，其公垂线段AB上的单位向量为n,又C、D分别是l₁、l₂上任意一点，求证：||=|·n|;

(2)已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为a,求体对角线BD₁与面对角线B₁C的距离.?

Answer 1

(1)证明：∵n=,

∴·n=(++)·.

由于CA⊥AB，BD⊥AB,?

∴·=0, ·=0.

因此·n===|AB|.

 (2)解析：先找一个向量n,它既与BD₁垂直，又与B₁C垂直.设n=+λ+μ,其中λ、μ为待定的数.?

由n·=(+λ+μ)·(++)=·+λ·+μ·=-a²-λa²+μa²=-a²(1+λ-μ)=0,?

∴1+λ-μ=0.?

又由n·=(+λ+μ)·(+)=·+μ·=-a²-μa²=0,∴1+μ=0.

于是解得μ=-1,λ=-2.

∴n=-2-,

|n|=

= =a.

又BC是连结这两条异面直线BD₁与B₁C上的任意点的线段，由第(1)题知所求距离

d= = = = = =a.

温馨提示：(1)在以上推导中，我们已暗中假定了n的方向是由l₁上的点A指向l₂上的点B，而的方向也是由l₁上的点C指向l₂上的点D，这样求得·n是正值.如果n指向与指向不同，则·n是负值，所以一般地就写成||=|·n|.又如果n不是单位向量，则||=.

(2) 、、有着基底的作用，我们将BD₁与B₁C的公垂线段向量n用这组基底来表示.因为相差一个常数因子不影响其公垂性，所以设定了n=+λ+μ，使其只含有两个待定常数，这样就方便多了.