Question

已知函数f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f'（x）-6，对任意的-1＜x＜1，都有g（x）＜0成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a≤0时，请问：是否存在整数a的值，使方程f（x）=15有且只有一个实根？若存在，求出整数a的值；否则，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导，根据函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，以及导数的几何意义，可知f′（1）=3+3a=6，解方程即可求得结果；
（Ⅱ）求出函数g（x），根据对任意的-1＜x＜1，都有g（x）＜0成立，即g（x）=3x²+3a-6＜0在（-1，1）上恒成立，然后分离参数，转化为求函数的值域，即可求得结果；
（Ⅲ）求出函数f（x）的极值，要使方程f（x）=15有且只有一个实根，只需∴（f（x）_极小值-15）•（f（x）_极大值-15）＞0，解此不等式即可求得结果．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+3a
∴f′（1）=3+3a=6
∴a=1
（Ⅱ）∵g（x）=3x²+3a-6
∴g（x）=3x²+3a-6＜0在（-1，1）上恒成立．
∴a＜-x²+2在（-1，1）上恒成立．
而-x²+2＞1在（-1，1）上恒成立．
∴a≤1
（Ⅲ）存在
理由如下：
方程f（x）=15有且只有一个实根，
即为函数y=f（x）的图象与直线y=15有且只有一个公共点．
由f′（x）=3x²+3a
（1）若a=0，则f′（x）≥0，∴f（x）在实数集R上单调递增
此时，函数y=f（x）的图象与直线y=15有且只有一个公共点．
（2）若a＜0，则f′(x)=3(x+

-a

)(x-

-a

)
列表如下：

x	（-∞，- -a ）	- -a	（- -a ， -a ）	-a	（ -a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴（f（x）_极小值-15）•（f（x）_极大值-15）＞0，得：[(

-a

)3-8][(

-a

)3+8]＜0
∴0＜(

-a

)3＜8，解得-4＜a＜0
综上所述，-4＜a≤0又a∈Z，
即 a为-3、-2、-1、0．

点评：本题考查导数的几何意义、函数恒成立的条件以及利用导数研究函数的极值问题，体现了转化、数形结合的数学思想方法，同时考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属难题．