Question

定义在R上的函数y=f(x),f(x)≠0,当x＞0时f(x)＞1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).

(1)证明f(0)=1;

(2)证明对任意x∈R,恒有f(x)＞0;

(3)证明f(x)是R上的增函数;

(4)若f(x)·f(2x-x²)＞1,求x的取值范围.

Answer 1

(1)证明:∵f(0)=f(0+0)=［f(0)］²,

∴f(0)=0或1.

∵f(0)≠0,∴f(0)=1.

(2)证明:x＞0时,f(x)＞1,

x=0时,f(x)=1,

x＜0时,-x＞0,∴f(-x)＞1.

而f(0)=f［x+(-x)］=f(x)·f(-x)=1,

∴f(x)=＞0.

综上,知对任意x∈R,都有f(x)＞0.

(3)证明:设x₁＜x₂,则x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＞1.

又∵f(x₁)＞0,∴f(x₁)·f(x₂-x₁)＞?f(x₁)?,

即f(x₁+x₂-x₁)＞f(x₁),

即f(x₂)＞f(x₁).

∴f(x)为R上的增函数.

(4)解：f(x)·f(2x-x²)＞1,

即f(3x-x²)＞f(0).

∵f(x)为R上的增函数,

∴3x-x²＞0,解得0＜x＜3.

∴x的取值范围是(0,3).