Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜

1

a

．
（1）当x∈（0，x₁）时，证明x＜f （x）＜x₁；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，证明x₀＜

x1

2

．

Answer 1

分析：（1）方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂，所以构造函数，当x∈（0，x₁）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差
x₁-f（x），化简分析出f（x）＜x₁，即可．
（2）．方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂，函数f（x）的图象，关于直线x=x₀对称，利用放缩法推出x₀＜

x1

2

；

解答：证明：（1）令F（x）=f（x）-x．因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因为0＜x＜x1＜x2＜

1

a

所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
（2）依题意知x0=-

b

2a

因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，即x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+c=0的根．
∴x1+x2=-

b-1

a

，x0=-

b

2a

=

a(x1+x2)-1

2a

=

ax1+ax2-1

2a

因为ax₂＜1，所以x0＜

ax1

2a

=

x1

2

．

点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．