Question

下列有关命题的说法正确的是（　　）

• A．命题P：?X∈R，f（X）=cos²x+

  3

  sin2x≤3，则-p：?x∈R，f(x)=2cos2x+

  3

  sin2x≤3，且原命题p是真命题
• B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题
• C．已知p：

  1

  x+1

  ＞0，则?p：

  1

  x+1

  ≤0
• D．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a＜b?cos²A＞cos²B

Answer 1

分析：A，由全称命题得到存在性命题，要注意形式；B，原命题与逆否命题同真假；C，对命题的否定存在问题；
D，由正弦定理可以把边的关系转化为正弦的关系，再利用同角三角函数关系转化为余弦的关系．

解答：解：A：f(x)=

1+cos2x

2

+

3

sin2x=

1

2

cos2x+

3

sin2x+

1

2

=

13

2

sin(2x+θ)+

1

2

（其中θ由tanθ=

3

6

确定），∴?X∈R，f（x）≤

13

2

+

1

2

＜3；对其否定为：?x∈R，f(x)=cos2x+

3

sin2x＞3，故该选项不正确；
B：命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题与原命题真假一致，而原命题为真，故逆否命题为真，故该选项不正确；
C：-p：?x∈R，

1

1+x

≤1，故该选项不正确；
D：△ABC中，由正弦定理有
a＞b?sinA＞sinB?sin²A＞sin²B?1-cos²A＞1-cos²B
∴cos²A＜cos²B，故该选项正确．
故选D．

点评：本题主要考查了命题、四种命题之间关系及真假的判断、全称命题、存在性命题，三角函数的有关知识，是一道综合性较强的题目．