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函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b∈R.
(1)若函数f(x)在其定义域内是单调函数,求b的取值范围;
(2)若对f(x)定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1),求b的值;
(3)设数学公式时,若存在x1,x2∈[0,1],使得数学公式,求实数a的取值范围.

解:(1)(x>-1),
由题意,f′(x)≥0在(-1,+∞)内恒成立,或f′(x)≤0在(-1,+∞)内恒成立.
若f′(x)≥0,则2x2+2x+b≥0,即b≥-2x2-2x=-2(x+2+恒成立,
显然,-2(x+2+在(-1,+∞)内的最大值为,所以b
f′(x)≤0,则2x2+2x+b≤0,
显然,该不等式在(-1,+∞)内不恒成立;
综上,所求b的取值范围为[,+∞);
(2)由题意,f(1)是函数的最小值也是极小值.
因此f′(1)=2+=0,解得b=-4,
经验证b=-4符合题意;
(3)首先研究f(x),g(x)在[0,1]上的性质,
由(1),当b=时,函数f(x)=x2+bln(x+1)在(-1,+∞)内单调递增,从从而f(x)在[0,1]上单调递增,
因此,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=0,最大值为f(1)=1+
g′(x)=3(x2-a2),由a>1,知当x∈[0,1]时,g′(x)=3(x2-a2)<0,
因此g(x)=x3-3a2x+a2-2a在[0,1]上单调递减.
∴g(x)max=g(0)=a2-2a,g(x)min=g(1)=1-2a2-2a,
∵a>1,∴g(x)min=g(1)=1-2a2-2a<0,
①若g(x)max=g(0)=a2-2a≥0,即a≥2时,两函数在[0,1]上有交点,此时a≥2显然满足条件;
②若g(x)max=g(0)=a2-2a<0,即1<a<2,f(x)的图象在上,g(x)的图象在下,
只需f(x)min-g(x)max<,即f(0)-g(0)
即-(a2-2a)
解得1+
综上,所求实数a的取值范围(1+,+∞).
分析:(1)先求导:,令导数大于或小于等于零,分离参数,转化为求函数的最值问题,从而求得b的取值范围;
(2)根据题意对f(x)定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1),即说明f(1)是函数的最小值也是极小值,因此有f′(1)=0,从而求得b的值;
(3)要使不等式成立,即求两个函数的函数值相差最大不能超过,因此利用导数分别求得两函数的值域即可求得实数a的取值范围.
点评:此题是个难题.本题主要考查用导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数为增函数时,导数大于等于零;当函数为减函数时,导数小于等于零,根据解题要求选择是否分离变量,体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法,同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力.
练习册系列答案
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12
x
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