【题目】设函数(为常数,是自然对数的底数)。
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在内存在唯一极值点,求的取值范围。
【答案】(1)的单调递减区间为,的单调递增区间为(2)
【解析】
(1)根据解析式可求得函数定义域为,求导后,根据可知;从而根据的符号可确定导函数的符号,从而得到函数的单调区间;(2)由(1)知时不满足题意;当时,将问题转化为与在范围内有唯一交点;设,利用导数可得到的单调性,从而得到在内的图象,进而得到的取值范围.
(1)由题意得:函数的定义域为
则
当时,
当时,,函数单调递减
当时,,函数单调递增
的单调递减区间为,单调递增区间为
(2)由(1)知,当时,在内单调递减
在内不存在极值点
当时,要使得在内存在唯一极值点,则在存在唯一变号零点
即方程在内存在唯一解,即与在范围内有唯一交点
设函数,则
在单调递减
又;当时,
时,与在范围内有唯一交点
综上所述:的取值范围为:
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【题目】已知椭圆的左,右焦点分别为F1, F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.
(1)求点M的轨迹的方程;
(2)设与x轴交于点Q, 上不同于点Q的两点R、S,且满足,求的取值范围.
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【题目】(1)若,且,则的取值范围是______.
(2)若,,且,则的取值范围是______.
(3)已知,且,则的最小值是______.
(4)已知实数,,若,,且,则的最小值______.
(5)已知实数,,若,,则的最小值______.
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【题目】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F为椭圆C的右焦点,A是右准线与x轴的交点,且AF=1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C上顶点B的直线l交椭圆另一点D,交x轴于点M,若,求直线l的方程;
(3)设点,过点F且斜率不为零的直线m与椭圆C交于S,T两点,直线TQ与直线x=2交于点S1,试问是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,请说明理由.
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【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,,是的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)若点在线段(不包含端点)上,且直线平面,求线段的长.
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【题目】已知P(,1),Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数f(x).
(1)求f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,△ABC的面积为,求AB+AC.
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【题目】武汉又称江城,是湖北省省会城市,被誉为中部地区中心城市,它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着众多名胜古迹与旅游景点,每年来武汉参观旅游的人数不胜数,其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源,现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查,若不游玩东湖记1分,若继续游玩东湖记2分,每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为,游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量,求的分布列与数学期望;
(2)(i)若从游客中随机抽取人,记总分恰为分的概率为,求数列的前10项和;
(ⅱ)在对所有游客进行随机问卷调查过程中,记已调查过的累计得分恰为分的概率为,探讨与之间的关系,并求数列的通项公式.
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【题目】年以来精准扶贫政策的落实,使我国扶贫工作有了新进展,贫困发生率由年底的下降到年底的,创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例,年至年我国贫困发生率的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
贫困发生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
(1)从表中所给的个贫困发生率数据中任选两个,求两个都低于的概率;
(2)设年份代码,利用线性回归方程,分析年至年贫困发生率与年份代码的相关情况,并预测年贫困发生率.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(的值保留到小数点后三位)
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