Question

等差数列{a_n}中公差d≠0，a₁=3，a₁、a₄、a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设{a_n}的前n项和为Sn，求：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）a₁、a₄、a₁₃成等比数列．可得

a

2 4

=a1a13，利用等差数列的通项公式可得（3+3d）²=3（3+12d），解出即可．
（II）由（I）可得：S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（I）∵a₁、a₄、a₁₃成等比数列．
∴

a

2 4

=a1a13，
∴（3+3d）²=3（3+12d），
化为d²-2d=0，d≠0，
解得d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（II）由（I）可得：S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+3)

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题．