Question

(14分)已知函数．
(Ⅰ)求函数的最小值；
(Ⅱ)求证：；
(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.设函数，，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)的最小值为；(Ⅱ)详见解析；（Ⅲ），

试题分析：(Ⅰ)求导得：，由此可得函数在上递减，上递增，
从而得的最小值为．
(Ⅱ)注意用第(Ⅰ)小题的结果.由(Ⅰ)知.这个不等式如何用？结合所在证的不等式可以看出，可以两端同时乘以变形为：，把换成得，在这个不等式中令然后将各不等式相乘即得.
（Ⅲ）结合题中定义可知，分界线就是一条把两个函数的图象分开的直线.那么如何确定两个函数是否存在分界线？显然，如果两个函数的图象没有公共点，则它们有无数条分界线，如果两个函数至少有两个公共点，则它们没有分界线.所以接下来我们就研究这两个函数是否有公共点.为此设.通过求导可得当时取得最小值0，这说明与的图象在处有公共点．如果它们存在分界线，则这条分界线必过该点.所以设与的“分界线”方程为.由于的最小值为0，所以，所以分界线必满足和.下面就利用这两个不等式来确定的值.
试题解析：(Ⅰ)解：因为，令，解得，
令，解得，
所以函数在上递减，上递增，
所以的最小值为．                           3分
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知函数在取得最小值，所以，即
两端同时乘以得，把换成得，当且仅当时等号成立．
由得，，， ，
，．
将上式相乘得
．         9分
（Ⅲ）设.
则．
所以当时，；当时，．
因此时取得最小值0，则与的图象在处有公共点．
设与存在 “分界线”，方程为.
由在恒成立，
则在恒成立.
所以成立.因此.
下面证明成立.
设，.
所以当时，；当时，.
因此时取得最大值0，则成立.
所以，.                                  14分