Question

16．已知抛物线y²=4x，F为抛物线焦点，A、B为抛物线上的两点，且∠AFB=60°，M为AB中点，过M作抛物线准线的垂线交准线于点N．求$\frac{|MN|}{|AB|}$的取值范围．

Answer 1

分析 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答 解：设|AF|=a，|BF|=b，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-$\frac{3}{4}$（a+b）²=$\frac{1}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{1}{2}$（a+b）．
∴0＜$\frac{|MN|}{|AB|}$≤1．

点评 本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求$\frac{|MN|}{|AB|}$的取值范围，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．