Question

已知a＞0，命题p：函数y=a^x在R上单调递减，q：设函数y=

2x-2a(x≥2a) 2a(x＜2a)

，函数y＞1恒成立，若p和q只有一个为真命题，则a的取值范围

0＜a≤

1

2

或a≥1

．

Answer 1

分析：函数y=a^x在R上单调递减可得0＜a＜1；由函数y=

2x-2a(x≥2a) 2a(x＜2a)

，y＞1恒成立可得2a＞1，可求a的范围，由p与q一真一假可知p真q假，p假q真两种情况进行求解

解答：解：∵函数y=a^x在R上单调递减
∴0＜a＜1
∵函数y=

2x-2a(x≥2a) 2a(x＜2a)

且函数y＞1恒成立
y_min＞1，
又y_min=2a，
∴2a＞1，
∴q为真命题时a＞

1

2

∵p与q一真一假．
∴若p真q假，则0＜a≤

1

2

；
若p假q真，则a≥1．
故a的取值范围为0＜a≤

1

2

或a≥1．

点评：本题主要考查了指数函数的单调性的应用，函数的恒成立求解参数的方法一般是转化函数的最值的求解，复合命题的真假判断的应用．