Question

设f（x）=x²+bx+c（x∈R），且满足f'（x）+f（x）＞0．对任意正实数a，下面不等式恒成立的是（　　）

• A．f（a）＞e^af（0）
• B．f（a）＜e^af（0）
• C．f(a)＜

  f(0)

  ea

• D．f(a)＞

  f(0)

  ea

Answer 1

分析：构造函数F（x）=e^x×f（x），根据题设条件，可得此函数是一个增函数，从而得F（a）＞F（0），于是可得答案．

解答：解：令F（x）=e^x×f（x），
∵f'（x）+f（x）＞0
∴F′（x）=（e^x）′×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x（f'（x）+f（x））＞0，
∴F（x）=e^x×f（x）为增函数，又a＞0，
∴F（a）＞F（0），即e^af（a）＞e⁰f（0）=f（0），
∴f（a）＞

f(0)

ea

．
故选D．

点评：本题考查函数恒成立问题，构造函数F（x）=e^x×f（x）并研究其单调性是关键，也是难点，着重考查观察与分析问题的能力，属于好题，难题．