Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足（1-q）S_n+qa_n=1，且q（q-1）≠0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若S₃，S₄，S₅成等差数列，求证：a₂，a₃，a₄成等差数列．

Answer 1

分析 （1）求出a₁=1．利用当n≥2时，由S_n-S_n-1=a_n，利用q（q-1）≠0，说明{a_n}是以1为首项，q为公比的等比数列，求出通项公式；
（2）求出S_n=$\frac{1-{a}_{n}q}{1-q}$，由等差数列的性质可得S₃+S₅=2S₄，得到a₂+a₄=2a₃．说明a₂，a₃，a₄成等差数列．

解答 解：（1）当n=1时，由（1-q）S₁+qa₁=1，a₁=1．
当n≥2时，由（1-q）S_n+qa_n=1，得（1-q）S_n-1+qa_n-1=1，
两式相减得a_n=qa_n-1，
又q（q-1）≠0，所以{a_n}是以1为首项，q为公比的等比数列，
故a_n=q^n-1．
（2）由（1）可知S_n=$\frac{1-{a}_{n}q}{1-q}$，
S₃，S₄，S₅成等差数列，即有S₃+S₅=2S₄，
得$\frac{1-{a}_{3}q}{1-q}$+$\frac{1-{a}_{5}q}{1-q}$=$\frac{2（1-{a}_{4}q）}{1-q}$，
化简得a₃+a₅=2a₄，
两边同除以q得a₂+a₄=2a₃．
故a₂，a₃，a₄成等差数列．

点评 本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和以及通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力．