Question

已知函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．
（1）若f（2）=3，求函数f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=f（x）-mx，若g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=-1
∴f（x）=-x²+2x+3；
（2）由（1）得g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=
∵g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，
∴或
∴m≤-2或m≥6；
（3）f（x）=kx²+（3+k）x+3的对称轴为
①k＞0时，函数图象开口向上，，此时函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴，不合题意，舍去；
②k＜0时，函数图象开口向下，，
1°若，即时，函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（）=
∴k²+10k+9=0，∴k=-1或k=-9，符合题意；
2°若，即时，函数f（x）在[-1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，
∴，不合题意，舍去；
综上，存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4，且k=-1或k=-9．
分析：（1）由f（2）=3，可得k的值，从而可得函数f（x）的表达式；
（2）g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=，根据g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，可得或，从而可求实数m的取值范围；
（3）f（x）=kx²+（3+k）x+3的对称轴为，分类讨论，确定函数图象开口向上，函数f（x）在[-1，4]上的单调性，利用最大值是4，建立方程，即可求得结论．
点评：本题考查函数解析式的确定，考查二次函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．