Question

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB²=FA•FD；

Answer 1

分析：（I）根据角平分线得到两个角相等，根据圆内接四边形得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，得到两个角相等，根据同弧所对的圆周角相等和对顶角相等，根据等量代换得到∠FBC=∠FCB，三角形是一个等腰三角形，得到两边相等．
（II）根据两个三角形对应角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，不比例式化成乘积式，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC．
∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠DAC=∠FBC．
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC．
（Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD，
∴△FBA∽△FDB．
∴

FB

FD

=

FA

FB

，
∴FB²=FA•FD．

点评：本题考查圆内接四边形的性质，考查相似三角形的判定和性质，考查圆周角定理，考查对顶角相等，是一个基础题．