Question

已知函数f（x）=x（x²-ax-3）．
（Ⅰ）若的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=x（x²-ax-3），x∈R，的极值点，知，由此得到f（x）=x³-4x²-3x，从而能求出f（x）在[1，4]上的最大值．
（Ⅱ）由f（x）在[1，+∞）上是增函数，知3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．由此能求出a的范围．
（Ⅲ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等实根，由此能求出存在满足条件的b的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x（x²-ax-3），x∈R，
∴f′（x）=3x²-2ax-3．…（2分）
∵的极值点，∴，
解得a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x，令f′（x）=3x²-8x-3，
得，x₂=3，则当x在[1，4]上变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
		-		+
f（x）	-6	减	-18	增	-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6．…（5分）
（Ⅱ）∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
即a≤（x-）在[1，+∞）上恒成立，
∴只需a≤[（x-）]_min（x≥1）即可，
而当x≥1，[（x-）]_min=（1-1）=0，
∴a≤0．…（10分）
（Ⅲ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等实根．…（11分）
∴x³-4x²-3x-bx=0，
∴x=0是其中一个根，…（12分）
∴方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根，
∴，
解得b＞-7，且b≠-3．
∴存在满足条件的b值，b的取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）…12分
点评：本题考查函数的最大值的求法，考查满足条件的实数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．